如何求等差数列之和

等差数列是每一项与它的前一项的差等于一个常数的数列。如果要求等差数列之和，你可以将所有数字手动相加。但是，当数列包含大量数字时，就无法使用这种方法了。这时，你可以使用另一种方法，即用数列首项和末项的平均数乘以数列项数，从而快速算出任何等差数列之和。

编辑该部分步骤

编辑该部分评估数列

1. 确定数列是等差数列。等差数列是一组有规律的数字，其中各数字的增量是一个常数。^[1]本文所述方法仅适用于等差数列。
   
   • 要确定数列是否是等差数列，你可以计算前面几个数字之间的差值和最后几个数字之间的差值。等差数列的差值应始终相等。
   • 例如，数列10, 15, 20, 25, 30是一个等差数列，因为各项之间的差值等于常数(5)。
2. 确定数列的项数。每个数字构成一项。如果数列只包含列出的几个数字，你可以数一数共有多少项。否则，在知道首项、末项，以及被称为公差的各项之差的情况下，你可以使用公式来算出项数。我们可以使用变量${\displaystyle n}$来代表这个数字。
   
   • 例如，如果你要计算数列10, 15, 20, 25, 30之和，则${\displaystyle n=5}$，因为数列共有5项。
3. 确定数列的首项和末项。要计算等差数列之和，你必须知道这两个数字。第一个数字常常为1，但也并不一定。我们可以设变量${\displaystyle a_{1}}$等于数列首项，变量${\displaystyle a_{n}}$等于数列末项。
   
   • 例如，在数列10, 15, 20, 25, 30中，${\displaystyle a_{1}=10}$，而${\displaystyle a_{n}=30}$。

编辑该部分计算总和

1. 列出计算等差数列之和的公式。公式为${\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}$，其中${\displaystyle S_{n}}$等于数列之和。^[2]
   
   • 注意，此公式表明等差数列之和等于首项和末项的平均数乘以项数。^[3]
2. 将变量${\displaystyle n}$、${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle a_{n}}$代入公式中。确保代入步骤正确。
   
   • 例如，如果数列有5项，首项为10，末项为30，则代入后公式变成：${\displaystyle S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})}$。
3. 计算首项和末项的平均数。将两个数字相加，然后除以2。
   
   • 例如：
     ${\displaystyle S_{n}=5({\frac {40}{2}})}$
     ${\displaystyle S_{n}=5(20)}$
4. 用平均数乘以数列的项数。这样就算出了等差数列之和。
   
   • 例如：
     ${\displaystyle S_{n}=5(20)}$
     ${\displaystyle S_{n}=100}$
     因此，数列10, 15, 20, 25, 30之和等于100。

编辑该部分完成例题

1. 计算1到500之间所有数字之和。考虑所有的连续整数。
   
   • 确定数列的项数${\displaystyle n}$。由于需要考虑500以内的所有连续整数，因此${\displaystyle n=500}$。
   • 确定数列的首项${\displaystyle a_{1}}$和末项${\displaystyle a_{n}}$。由于数列是从1到500，所以${\displaystyle a_{1}=1}$，而${\displaystyle a_{n}=500}$。
   • 计算${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle a_{n}}$的平均数：${\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250.5}$。
   • 用平均数乘以${\displaystyle n}$：${\displaystyle 250.5\times 500=125,250}$。
2. 求下述等差数列之和。数列的首项为3。数列的末项为24。公差为7。
   
   • 确定数列的项数${\displaystyle n}$。由于数列的第一项为3，最后一项为24，而每一项比前一项大7，所以这个数列是3, 10, 17, 24。以上推论是根据公差的定义得出，公差即数列中各项与前一项之差。^[4]这意味着${\displaystyle n=4}$
   • 确定数列的首项${\displaystyle a_{1}}$和末项${\displaystyle a_{n}}$。由于数列是从3到24，所以${\displaystyle a_{1}=3}$，而${\displaystyle a_{n}=24}$。
   • 计算${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle a_{n}}$的平均数：${\displaystyle {\frac {3+24}{2}}=13.5}$。
   • 用平均数乘以${\displaystyle n}$：${\displaystyle 13.5\times 4=54}$。
3. 解以下问题。陈静在一年的第一周存了5元钱。在这一年中剩下的时间里，她每周会比前一周多存5元钱。年末时，陈静共存了多少钱？
   
   • 确定数列的项数${\displaystyle n}$。由于陈静存了1年，而1年有52周，所以${\displaystyle n=52}$。
   • 确定数列的首项${\displaystyle a_{1}}$和末项${\displaystyle a_{n}}$。她存的第一笔钱金额为5元，所以${\displaystyle a_{1}=5}$。她在这一年最后一周存的金额可以计算得出，${\displaystyle 5\times 52=260}$。因此，${\displaystyle a_{n}=260}$。
   • 计算${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle a_{n}}$的平均数：${\displaystyle {\frac {5+260}{2}}=132.5}$。
   • 用平均数乘以${\displaystyle n}$：${\displaystyle 135.5\times 52=7,046}$。所以，她在年末时共存了7,046元。

编辑该部分参考

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